See English Version

کارگاه ه آموزشی Ergodic properties of non-dissipative actions

                                                                         

دکترحسام  رجب زاده از IPM                                                                                               دکتر امین طالبی از IPM 

عنوان کارگاه :

خواص ارگودیک نگاشت‌های پایستار 

یکی از موضوعات اصلی مورد مطالعه در سیستم‌های دینامیکی، بررسی خواص ارگودیک مدارهای اکثر نقاط از دیدگاه یک اندازه احتمال به عنوان مرجع است. در صورتی که این اندازه مرجع تحت اثر دینامیک ناوردا بماند، قضایا و نتایج کلاسیک نظریه ارگودیک ابزارهای زیادی برای مطالعه سیستم فراهم می‌کنند. از جمله این‌ها می‌توان به بازگشتی بودن و وجود میانگین‌های زمانی برای تقریباً هر نقطه اشاره کرد. به طور کلی مطالعه نگاشت‌ها از نقطه نظر یک اندازه احتمال مرجع را می‌توان به دو دسته نگاشت‌های پایستار (conservative) و غیرپایستار (dissipative) تقسیم کرد. در طول این درس کوتاه به روش‌هایی برای مطالعه سیستم‌های پایستار می‌پردازیم و بررسی می‌کنیم که تا چه میزان مشابه قضایا و نتایج کلاسیک نظریه ارگودیک برای چنین سیستم‌هایی برقرار هستند. برای این منظور، ابتدا به صورت مجرد به این خانواده از سیستم‌های دینامیکی، خواص اولیه آن‌ها و مثال‌هایی متنوع می‌پردازیم. به طور خاص مفهوم ارگودیک بودن برای چنین نگاشت‌هایی را معرفی می‌کنیم. در ادامه خود را به نگاشت‌های هموار روی خمینه‌ها محدود می‌کنیم و ضمن بررسی پایداری این تعریف تعمیم‌یافته از ارگودیک بودن تحت اختلال‌های کوچک سیستم، روشی موضعی برای دست‌یابی به مثال‌هایی پایدار از سیستم‌های ارگودیک ارائه می‌کنیم. در پایان با بررسی همگرایی میانگین‌های زمانی برای نقطه‌های فضا، در قالب مثال‌هایی خواهیم دید که قضیه ارگودیک بیرخوف حتی با فرض ارگودیک بودن دینامیک ممکن است برای تقریباً همه نقاط برقرار نباشد.

 

 

 Ergodic properties of non-dissipative actions

Abstract: One of the main subjects in dynamical systems is to study the ergodic behaviors of typical orbits from viewpoint of a reference probability measure. When the reference measure is invariant, the classical machinery of ergodic theory provides lots of additional information about the system, such as recurrence and the existence of time averages for typical points. However, the reference measure may not be invariant under the iterations of the system. In general, the systems with a reference probability measure are divided into two categories: dissipative and non-dissipative systems. The latter contains the measure-preserving ones. This minicourse intends to introduce the literature for answering the question that to what extent the results in classical ergodic theory hold for all maps in the non-dissipative category. We will start with a short introduction of this category in an abstract setting, presenting different examples and reviewing their basic properties. In particular, a generalization of the notion of ergodicity for non-dissipative systems will be introduced. For the rest, we will restrict ourselves to smooth systems. We will investigate the stability of the generalized notion of ergodicity and propose a local mechanism for providing stably ergodic actions. Finally, we will talk about the convergence of time averages of typical points under iteration of the system and give an example to show the classical Birkhoff ergodic theorem fails in this setting, even if the system is ergodic.

مسولان برگزاری کارگاه: دکتر امین طالبی و دکتر حسام رجب زاده از IPM  تهران

کارگاه در 4 جلسه برگزار خواهد شد و هزینه کارگاه 100000 تومان می باشد.

جهت ثبت نام در کارگاه با مسولان برگزاری سمینار  در واتساپ تماس حاصل فرمایید.